موضوع الرياضيات · امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام)، دورة 2024

الحصّة: ساعتان · الضارب: 2 · 5 تمارين على 20. المصدر: وزارة التربية التونسية، دورة 2024.

حمّل الموضوع وحاول حلّه في ساعتان قبل فتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

احتمال سحب قاسم لـ 34، قابلية قسمة ⁦24 × 10²⁴ − 6⁩، ونظيرة نقطة بالنسبة إلى (OJ).

عناصر الإجابة

1) قواسم 34 بين 1 و 30 هي 1 و 2 و 17: الاحتمال ⁦3/30 = 1/10⁩، الجواب (ج).
2) العدد ⁦= 6 × (4 × 10²⁴ − 1)⁩، و ⁦4 × 10²⁴ − 1⁩ مجموع أرقامه 219 فهو مضاعف لـ 3، إذن العدد مضاعف لـ 9: الجواب (ب).
3) ⁦1/(1 + √2) = √2 − 1⁩، والتناظر بالنسبة إلى (OJ) يغيّر إشارة الفاصلة فقط: A′⁦(1 − √2 ; 2√2)⁩، الجواب (ب).

3,5 نقاط

مقارنة ⁦7√2⁩ و ⁦3√11⁩، تبسيط ⁦√(197 − 42√22)⁩، مقلوبان، ثمّ متفاوتة.

عناصر الإجابة

1) ⁦(7√2)² = 98 < 99 = (3√11)²⁩ إذن ⁦7√2 < 3√11. (7√2 − 3√11)² = 98 + 99 − 42√22 = 197 − 42√22⁩، ومنه ⁦a = |7√2 − 3√11| = 3√11 − 7√2⁩.
2) ⁦(√11 − √2)(√11 + √2) = 9⁩ إذن ⁦27/(√11 + √2) = 3√11 − 3√2⁩، و ⁦2√50 = 10√2⁩، فـ ⁦b = 3√11 + 7√2⁩.
3) ⁦ab = 99 − 98 = 1⁩: مقلوبان⁦. b > 1⁩ إذن ⁦0 < a < 1⁩.
⁦0 < a < 1⁩ إذن ⁦a² < a⁩ أي ⁦197 − 42√22 < 3√11 − 7√2⁩، ومنه ⁦197 + 7√2 < 3√11 + 42√22⁩.

4,5 نقاط

⁦x² + x√2 − 4 = (x − √2)(x + 2√2)⁩، العبارة T على المجال ⁦]−3 ; −1[⁩، ثمّ مجموعة الحلول ⁦T < −9⁩.

عناصر الإجابة

1) النشر يعطي ⁦x² + 2√2x − √2x − 4 = x² + x√2 − 4⁩. حلول المعادلة: ⁦√2⁩ و ⁦−2√2⁩.
2) ⁦T(−√2) = 2 − 2 − 9 = −9⁩. إذا كان ⁦−3 < x < −1⁩ فإنّ ⁦x² < 9⁩ و ⁦x√2 < −√2⁩ إذن ⁦T < −√2⁩.
T سالب على المجال، فـ ⁦|T| = 5⁩ تعني ⁦T = −5⁩ أي ⁦x² + x√2 − 4 = 0⁩، والحلّ الذي ينتمي إلى ⁦]−3 ; −1[⁩ هو ⁦−2√2⁩.
3) ⁦|x + 1/√2| < 1/√2⁩ تعني ⁦−√2 < x < 0⁩. و ⁦(x + 1/√2)² − 19/2 = x² + x√2 − 9 = T⁩.
⁦T < −9⁩ تعني ⁦(x + 1/√2)² < 1/2⁩ أي ⁦|x + 1/√2| < 1/√2⁩: المجموعة ⁦]−√2 ; 0[⁩.

4,5 نقاط

مثلث متقايس الأضلاع EFM، أطوال بيتاغور، مثلثان قائمان، تعامد مستقيم ومستوٍ، وتقاطع مستويين.

عناصر الإجابة

1) ⁦EM² = EH² + HM² = 27 + 9 = 36⁩ إذن ⁦EM = 6⁩، وكذلك ⁦FM = 6⁩ و ⁦EF = 6⁩: EFM متقايس الأضلاع.
2) ⁦FI = 3√3 (⁩ارتفاع). (AE) عمودي على المستوي (EFGH) فالمثلث AEM قائم في E، و ⁦AI = √(16 + 9) = 5⁩.
⁦AF² = 52 = AI² + FI² = 25 + 27⁩: المثلث AFI قائم في I.
3) (FI) ⊥ (EM) و (FI) ⊥ (AI) إذن (FI) ⊥ (AEM).
4) ⁦(IJ) // (AE) (⁩مستقيم المنتصفين) و ⁦(AE) // (BF)⁩ إذن ⁦(IJ) // (BF). I⁩ مشتركة و (IJ) محتوى في المستويين: تقاطعهما المستقيم (IJ).

4,5 نقاط

مساحة ⁦S = (4 − x)(5 − x)⁩، معادلة ⁦S = 12⁩، ثمّ منتصف بطالس، تعامد، مركز ثقل وإحداثيات في معيّن.

عناصر الإجابة

1) القاعدتان ⁦MN = 4 − 2x⁩ و ⁦QP = 4⁩ والارتفاع ⁦5 − x⁩: ⁦S = (8 − 2x)(5 − x)/2 = (4 − x)(5 − x)⁩.
⁦12 + (x − 1)(x − 8) = x² − 9x + 20 = (4 − x)(5 − x). S = 12⁩ تعني ⁦(x − 1)(x − 8) = 0⁩، و ⁦x ∈ ]0 ; 2[⁩ إذن ⁦x = 1⁩.
2) ⁦(MN) // (QP)⁩ و ⁦MN = QP/2 = 2⁩ إذن M منتصف ⁦[OQ] (⁩وكذلك N منتصف ⁦[OP])⁩. الشكل متناظر فـ (OH) هو محور ⁦[MN]⁩ و (OH) ⊥ (MN).
3) (PM) و (OH) موسّطان في المثلث OPQ فـ G مركز ثقله.
في المعيّن (A, D, Q): ⁦G(1/2 ; 1/3)⁩، لأنّ AH′ ⁦= 4/3⁩ و ⁦AQ = 4 = 3AH⁩′.

عناصر الإجابة من إعداد سكولار، وليست الإصلاح الرسمي. إذا لاحظت خطأ، راسلنا.

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.